İlk kez 1939'da Eminönü Halkevi'nde sahneye çıktı ve burada tiyatro ile yakından bir ilişki kurdu. Beykoz Ortaokulu ve ardından İstanbul Erkek Lisesi'nden mezun oldu. Lise yıllarında Cağaloğlu Halkevi'nde tiyatro eğitimi alan Alışık, Ankara Devlet Konservatuvarı sınavını kazanmasına rağmen gözlerinin miyop olması nedeniyle kayıt yapamadı ve İstanbul'a dönerek tiyatro çalışmalarına devam etti. Bir süre Güzel Sanatlar Akademisi Resim Bölümü'nde eğitim gördü.

Sadri Alışık hayatı boyunca toplam 2 evlilik yaptı. İlk evliliğini tiyatro sanatçısı Neriman Esen ile 1951 yılında gerçekleştirdi, ancak evlilikleri 1957 yılında sona erdi. Ünlü oyuncu 1959 senesinde kendisi gibi oyuncu olan Çolpan İlhan ile hayatını birleştirdi.

Sadri Alışık, karaciğer, böbrek ve solunum yetmezliği hastalığından 18 Mart 1995 tarihinde 69 yaşında vefat etti.